Komposisi fungsi dan invers

1. Jia  f(x) = 2x, dan g(x) = x + 1 dan h (x) = x3, maka hasil dari (h o g o f) (x) adalah…

Jawab

f  (x) = 2x

g (x) = x + 1

h (x) = x3

(g o h o f) (x) =   ???

Tahap pertama kita kerjakan untuk (g o h) (x)

Ini artinya kita masukan nilai h (x) untuk menggantikan nilai x pada g (x)

(g o h) (x) = (x) + 1

(g o h) (x) = (x3 )+ 1

(g o h) (x) = x3 + 1

Tahap kedua  kita kerjakan (g o h o f) (x)

yang berate nilai dari f (x) kita ambil untuk menggantikan nilai dari (g o h) (x) =

sehingga diperolah

(g o h o f) (x) = (x)3 + 1

(g o h o f) (x) = (2x)3 + 1

(g o h o f) (x) = (8x)3 + 1

(g o h o f) (x) = 8x3 + 1

Maka hasil dari (h o g o f) (x) adalah  8x3 + 1

Menentukan bentuk asal fungsi

untuk melihat sifat-sifat fungsi dan komposisi dan pengetian fungsi invers klik disini

2. Diketahui f (x+1) = 4x + 1 dan (f o g) (x) = 12x – 23, dapatkah kamu menentukan f (x) dan g (x) ?

Jawab.

Langkah pertama

Kita misalkan a = x + 1 sehingga x = a – 1

F (x + 1)     = 4x + 1

f (a)     = 4 (a – 1 ) + 1

f (a)     = 4 a – 4  + 1

f (a)     = 4t – 3

Dengan mengganti t pada f(a) = 4a – 3 dengan x, diperoleh f(x) = 4x – 3. Jadi, f(x) = 4x – 3.

2

Berikutnya akan kita cari dengan ncara yang sama nilai dari g (x) ….?

(f ₒ g) (x)   = 12x – 23

f (g(x))       = 12x – 23

4g (x) – 3      = 12x – 23

4g (x)            = 12x – 23 + 3

4g (x)            = 12x – 20

g (x)              = 3x – 5

Jadi, g(x)     = 3x -5.

3. Diketahui f (x) = 5x – 3 dan g (x-2) = 2x +3 tentukan

1. Rumus fungsi g (x)
2. h (x) jika diketahui (h o g) (x) = 6x + 23

Jawaban

a. Misalkan a = x – 2 → x = a + 2

g (x – 2)     = 2x + 3

g (a)     = 2 (a + 2) + 3

g (a)     = 2a + 4 + 3

g (a)     = 2a + 7

g (x)     = 2x + 7

Jadi, rumus fungsi g (x) = 2x + 7

b. Misalkan g(x) = a = 2x + 7 → a - 7/2

(h ₒ g)(x)     = 6x + 23

h (g(x))     = 6x + 23

h(2x + 7)     = 6x + 23

h (a)     = 6 (a-7/2) + 23

h (a)     = 3 (a – 7) + 23

h (a)     = 3a + 2

h (x)     = 3x + 2

Jadi, h (x) = 3x + 2

Invers

1. Misalkan f(x) = x + 2 untuk x > 0 dan g(x) = 15/x  untuk x > 0. Jika (f^-1 ο g^-1) (x) = 1. Tentukan nilai dari x tersebut

kita cari dulu invers dari f(x) dan g(x)
f(x) = x + 2
y = x + 2
x = y -2
f^-1 (x) = x -2….. (1)

g(x) = 15/x

y = 15/x
x = 15/y
g^-1 (x) = 15/x…. (2)

(f^-1 ο g^-1) (x) = f^-1 (g^-1(x)) = (f^-1 (15/x) = 15/x – 2

(f^-1 ο g^-1) (x) = 1
15/x – 2 = 1
15/x = 3 maka nilai x = 15/3 = 5

2. f(x) = 10^x dan h(x) = x²+2 untuk setiap x bilangan real, bila x ≠ 0 maka nilai dari f^-1(h(x²)-2) adalah . . .

jawaban
kita cari invers dari fungsi\
f(x) = 10^x
y =  10^x
x =  log y
f^-1(x) = log x

f^-1(h(x²)-2) = f^-1((x²)² + 2-2) = f^-1(x⁴) = log x⁴

3. Jika f(x) = 5^x dan g(x) = x²+3, untuk x ≠ 0 maka f^-1(g(x²) -3)

jawaban
f(x) = 5^x
y =  5^x
x =  ⁵log y
f^-1(x) = ⁵log x

f^-1(g(x²)-3) = f^-1((x²)² + 3-3) = f^-1(x⁴) = ⁵log x⁴ atau bisa ditulis 4 ⁵log x